Mathématiques de base Exemples

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{y^{2} + 3 y + 2}$

Étape 1

Factorisez $y^{2} + 3 y + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{y}{y + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 2}{y + 2} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{y}{y + 1}$ par $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y (y + 2)}{(y + 1) (y + 2)} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y (y + 2) + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 4.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 4.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Étape 4.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 4.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à ${(y + 1)}^{2}$ et $y + 1$ .

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Étape 5.1

Factorisez $y + 1$ à partir de ${(y + 1)}^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{y + 2}$